式子乱推

形如：给定 $m$ 次多项式 $f(k)$ ，求 $\sum_{k=0}^n f(k)\times \dotsb$ 。 $m$ 较小 $n$ 极大。

求 $\sum f(k)x^k\binom{n}{k}$ 。

普通幂转下降幂： $x^n=\sum_{i=0}^n {n \brace i} x^{\underline{i}}$ 。 $f(k)=\sum_{i=0}^m b_i k^{\underline{i}}$ 。

下降幂乘组合数： $\binom{n}{k}\times k^{\underline{m}}=\binom{n-m}{k-m}n^{\underline{i}}$ 。

=\sum_{i=0}^m b_in^{\underline{i}}\sum_{k=0}^n\binom{n-i}{k-i}x^k

枚举 $k-i$ ，提出 $x^i$ ，二项式定理。

=\sum _{i=0}^m b_in^{\underline{i}}\sum_{k=0}^{n-i}\binom{n-i}{k}x^{k+i}

=\sum _{i=0}^m b_in^{\underline{i}}x^i(x+1)^{n-i}

求 $\sum_{k=0}^n f(k)\binom{n,k}x^k(1-x)^{n-k}$ 。 $f(k)$ 是 $m$ 次多项式，给出 $f_0,\dotsb,f_{m}$ 的点值表示。

二项式反演，设 $f_x=\sum_{i=0}^{x} \binom{x}{i} g_i$ ，则 $g_x=\sum_{i=0}^x (-1)^{x-i}\binom{x}{i} f_x$ 。卷积。

$=\sum_{i=0}^m g_i\sum_{k=0}^{n}\binom{k}{i}\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}$ 。

组合恒等式，枚举 $k-i$ ，提出 $x^i$ ，二项式定理。

=\sum_{i=0}^m g_i\binom{n}{i}\sum_{k=0}^n\binom{n-i}{k-i}x^k(1-x)^{n-k}

=\sum_{i=0}^mg_i\binom{n}{i}x^i

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