2024.1 做题记录

1.08

CF235C

求每个询问串的所有循环同构在主串中出现的次数总和。

向后遍历可做，现在需要删掉开头。删除开头 $l$ 减 $1$ ，如果 $l = l e n_{l n k_{p}}$ ，那 $p$ 就不能再在这个节点， $p = l n k_{p}$ 。

1.09

P4094

子串 $s [a ... b]$ 的所有子串和 $s [c ... d]$ 的最长公共前缀的长度的最大值。

二分答案 $mi d$ ，询问 $s [c ... c + mi d - 1]$ 是否在 $s [a ... b]$ 中出现。设节点 $p$ 表示 $s [c, c + mi d - 1]$ ，问 $p$ 的 endpos 是否在 $[a + mi d - 1, b]$ 中有元素。

记录 $p$ 表示 $s [1... i]$ ，倍增 parent tree 跳到 $l e n_{p} \leq mi d$ 。动态开点线段树合并 endpos 集合。

1.10

CF1237H

因为是对偶数位操作，将每两位和为一位。令 $00$ 为 $0$ ， $01$ 为 $1$ ， $10$ 为 $2$ ， $11$ 为 $3$ 。如果有解，则 $s u ma 0 = s u mb 0, s u ma 3 = s u mb 3, s u ma 1 + s u ma 2 = s u mb 1 + s u mb 2$ 。

考虑从一个大问题转换为小问题。要找到一种方法使得在不改变其他结构的同时移动 $a_{i}$ 。操作 $2 \times i - 2$ 和 $2 \times i$ 可以实现两步将 $a_{i}$ 换到 $a_{1}$ ， $a_{1... i - 1}$ 不改变结构的移到 $a_{2... i}$ 。

所以从后向前，设当前维护到 $a_{i}$ ，此时 $a_{1... i - 1}$ 分别等于 $b_{n - i + 2 ... n}$ 。找到 $a_{j} = b_{n - i + 1}$ 且 $i \leq j$ ，执行上面操作即可。共 $N$ 次操作。

现在问题是， $s u ma 1 \neq = s u mb 1$ ，我们要反转一次使 $s u ma 1 = s u mb 1$ 。

我们可以找到 $a$ 中某个前缀，使得 $s u ma 1 - s u ma 1_{i} + s u ma 2_{i} = s u mb 1$ ，翻转这个前缀。否则一定有 $b$ 的某个前缀，使得 $s u mb 1 - s u mb 1_{i} + s u mb 2_{i} = s u ma 1$ 。这时翻转 $b$ 的这个前缀得到 $b^{'}$ ，把 $a$ 做成 $b^{'}$ 再翻转这个前缀。

CF1329D

转换题意。对于 $s_{i} = s_{i + 1}$ 的 $i$ ，加入 $a$ ， $a$ 长为 $m$ 。

发现可行的 $s$ 上操作对应 $a$ 上：

$a$ 上删 $a_{i}, a_{i + 1}$ ，其中 $a_{i} \neq = a_{i + 1}$ ， $s$ 上删 $s [a_{i} + 1, a_{i + 1}]$ ，形如 b…[bca]…a。
$a$ 上删 $a_{i}$ ，其中 $a_{i} \neq = a_{i + 1}$ ， $s$ 上删 $a [1, a_{i}]$ ，形如 [bca]…a。

显然优先操作一，答案与 $a$ 中出现次数最大的 $p$ 有关，设为 $t_{p}$ 。

$t_{p} \times 2 > m$ 。所有非 $p$ 都与 $p$ 操作一，用栈模拟，知道无法操作为止。
其他情况。能配就配，直到成为上面的情况。用栈模拟，动态维护 $t$ 和 $p$ 。

从左到右操作，可以不用线段树，记录已删除量 $d e l$ 。处理细节。

结束后栈不空，用操作二一个一个做。可能忽略 $s [a_{m} + 1, n]$ ，再用一次操作全部做完。

CF1396E

先求出可行的最大最小答案。

一条边将树分为 $s i z A$ 和 $s i z B$ ，能贡献最大为 $min (s i z A, s i z B)$ ，最小为 $s i z A mod 2$ 。最大时， $A, B$ 间两两连边，最小时， $A, B$ 内部互相连，多出 $s i z A mod 2$ 。

拆开 $min (s i z A, s i z B)$ ，可以取重心为根，最大贡献为向下的 $s i z$ 。最大时所有路径跨过根。因为重心子树大小最大小于 $\frac{n}{2}$ ，构造取 dfn 序， $df n_{i}$ 与 $df n_{i + \frac{n}{2}}$ 连边即可。

最大时点的贡献是到根的距离。取点 $u, v$ ，lca 为 $tp$ 。本来 $u, v$ 各自的贡献是 $d e p_{u} + d e p_{v}$ ，连 $u, v$ 后，贡献为 $d e p_{u} + d e p_{v} - 2 \times d e p_{tp}$ ，变化量模 $2$ 为 $0$ 。

从 $m x an s$ 变化为 $m$ 。每次取出最大的 $d e p_{tp}$ 的 $u, v$ 改为互相连，然后删掉。要保持重心结构，所以从最大 $s i z$ 中选。最后当 $d e p_{tp} > m x an s - m$ ，因为 $d e p_{tp}$ 从最大往小，沿树向上一定找得到符合条件的。最后对没删掉的节点跑最大的构造。

1.11

P6240

$q$ 次查询区间 01 背包，值域 $t$ 。 $n \leq 4 \times 1 0^{4}, q \leq 2 \times 1 0^{5}, t \leq 200$ 。

可以 $O (t)$ 合并背包 $f$ 和 $g$ 求出单个 $d p$ 值。 $d p_{s} = ma x_{i = 0}^{s} f_{i} + g_{s - i}$ 。

猫树分治：选取所有询问都包含的某个位置，分别向左右预处理。对于询问的回答,只需要在左端点取信息,在右端点取信息,再合并即可。

分治 $S (l, r, ql, q r)$ 表示处理 $[l, r]$ 的物品和 $[ql, q r]$ 的询问。取 $mi d = \frac{l + r}{2}$ ，向左右背包。遍历 $[ql, q r]$ 的询问，如果在左右就下放，否则合并算出答案。

复杂度 $O (n t lo g n + qt)$ 。

P5576

P5546 做区间询问。

选 $s$ 作为文本串对其他所以 $t$ 建的 SAM 匹配。复杂度 $O (∣ s ∣ n)$ ， $\sum ∣ s ∣$ 为定值， $∣ s ∣$ 越小越好。

猫树分治 $S (l, r, ql, q r)$ ，选最小的 $s_{k}$ 处理跨过 $k$ 的询问。 $s_{k}$ 过长复杂度退化，不能取中点分治。

取阈值 $l im$ ，长度小于 $l im$ 的为短串，在短串中取中心。如果没有短串， $l im = l im \times 2$ 。对于 $l im$ ，最多分治 $lo g n$ 次，区间大小 $\frac{\sum l e n}{l im}$ ，匹配串 $s$ 长 $l im$ 。共 $lo g \sum l e n$ 种 $l im$ ，复杂度 $O (\sum l e n + m) lo g n lo g l e n$ 。

开一个大数组，然后用指针标记位置。

P4001

平面图最小割与对偶图最短路等价。

UVA10735

有向图欧拉回路当且仅当每个点入度等于出度。给无向边定向。先随便定向，记 $d_{u} = \frac{o u t _{u} - i n _{u}}{2}$ 。改变方向时 $d_{u} - 1, d_{v} + 1$ ，看作流量变化，连 $(u, v, 1)$ 。 $d_{u} > 0$ 的连 $S$ ， $d_{u} < 0$ 的连 $T$ 。跑网络流看是否满流。

CF1383F

最大流等于最小割。 $k$ 条特殊边割或不割 $2^{k}$ 个状态。对于一个状态，先不管特殊边边权，割掉要割的特殊边，跑最小割，在加上要割的特殊边边权，对所有状态取 min 即为答案。

当特殊边边权为 $0$ ，一定被割；边权为 $ma x w = 25$ ，一定不割。

从全不割到全割的转移。在旧状态的残余网络上改边权再跑即可， $d p_{s} = d p_{t} + f l o w$ 。记录 $2^{k}$ 个网络和当前状态的答案。

dinic 常数大，残余网络上用 FF，不过跟复杂度无关。

1.12

CF280D

长度为 $n$ 的数列，支持：单点修改，区间询问至多选 $k$ 个的不交子段和的最大值。

连 $(s, i, 1, 0), (i, i + 1, 1, a_{i}), (i, t, 1, 0)$ ， $s - > i - > j - > t$ 表示选 $[i, j)$ 。要求至多 $k$ 流的最大费用。

参考网络流反边，相当于每次取最大子段，再反转，重复 $k$ 次。线段树维护从左、右开始最大值和位置，区间最大值和位置，以及反过来最小值。用栈记录翻过的位置，最后翻回来。

P5996

网络流。同 P2762 太空飞行计划问题建图方式，将物品与 $s$ 连 $(s, i, v_{i})$ ，警察与 $t$ 连 $(j + n, t, v_{j})$ ，警察与对应的物品连 $(i, j + n, in f)$ ，答案为所有物品的收益和减最小割。 $n, m \leq 1 0^{5}$ ，显然跑不了网络流。考虑模拟最大流。

首先要描述警察 $j$ 与物品 $i$ 的关系。要满足：

$∣ \frac{x _{i} - x _{j}}{y _{i} - y _{j}} ∣\leq \frac{w}{h}$

$x_{j} \times h - y_{j} \times w \leq x_{i} \times h - y_{i} \times w$

$x_{j} \times h + y_{j} \times w \geq x_{i} \times h + y_{i} \times w$

令 $x = x \times h + y \times w, y = x \times h - y \times w$ 。得到 $x_{i} \leq x_{j}, y_{i} \geq y_{j}$ ，能很好描述。

将物品和警察放在一起从左到右，从上到下考虑，自然满足 $x_{i} \leq x_{j}$ 。贪心，一个警察 $j$ 的流优先从 $y_{i} \geq y_{j}$ 且 $y_{i}$ 最小处流过来，因为更大的 $y_{i}$ 能满足更多人限制。用 set 储存物品，警察处 lower_bound 查找。

gym102904B

划分序列，代价为 $x$ 加区间逆序对数，求最小代价。

$d p_{i} = max d p_{j} + c a l c (j + 1, i)$ ，满足决策单调性，单层转移。问题在求区间逆序对数。考虑类似莫队，要求左右两端移动次数不能过大。分治 $so v l e (l, r, ql, q r)$ 中 $l, r$ 移动 $O (n lo g n)$ 次，可以接受。cdq 分治分层做 sovle，维护树状数组。复杂度 $O (n lo g^{3} n)$ 。

1.13

CF1158F

一个序列的 $p$ 即每次删除一个包含 $[1, c]$ 的前缀能删的次数。

设 $g_{l, r}$ 表示 $[l, r]$ 中强制选 $a_{r}$ 并正好选出 $[1, c]$ 的子序列数。 $g_{l, r} = \prod_{i \neq = a_{r}} t_{i} - 1$ 。设 $f_{i, j}$ 表示以 $j$ 结尾并强制选 $j$ 的答案为 $i$ 的数量。 $f_{i, j} = \sum f_{i - 1, k} + g_{k + 1, j}$ 。因为答案小于 $\frac{n}{m}$ ，复杂度 $O (\frac{n ^{3}}{m})$ 。答案为 $i$ 后乱选，设 $an s_{i}$ 表示答案至少为 $i$ 的数量。 $an s_{i} = f_{i, j} \times 2^{n - j}$ ，差分得答案。

CF666E

求 $s [pl, p r]$ 在 $T [l, r]$ 中哪个串出现次数最多。

对 $t$ 建广义 SAM， $s$ 在上面跑匹配。如果 $s [pl, p r]$ 在 $t$ 中出现，倍增找到 $s [pl, p r]$ 对应的节点。每个节点动态开点线段树，下标为 $t$ 的编号，记录出现次数最大值和下标，线段树合并。

1.14

省选模拟1.14 T2 lis

求子序列最长长度使 lis 比原序列 lis 小。

连边 $(i, i^{'}, 1)$ ， $(S, i, in f), f_{i} = 1$ ， $(i^{'}, T, in f), f_{i} = m x$ ， $(i^{'}, j, in f), f_{i} + 1 = f_{j}, i < j, a_{i} < a_{j}$ 跑最小割。模拟最大流。分层，对于点 $u, v, f_{u} = f_{v} = i, u < v, a_{u} > a_{v}$ 。 $u$ 去到 $i + 1$ 层的区间 $[l_{u}, r_{u}]$ 满足 $l_{u} \leq l_{v}, r_{u} \leq r_{v}$ 。对于一个流，优先向 $l_{u}$ 去，因此不需要退流。记录 $v i s_{u}$ 表示是否走过， $t o_{u}$ 指向下一个 $v i s_{u} = 0$ 的点。 $O (n)$ 模拟。

1.15

CF1498F

树上节点 $i$ 有 $a_{i}$ 个石子，每次选任意个移到 $k$ 级祖先，不能动输，问以每个点为根先手胜负。

$d e p_{u}$ 模 $k$ 相等的分别考虑 SG 值。当 $⌊ \frac{d e p _{u}}{k} ⌋$ 为偶数时， $u$ 没意义。因为先手移偶数位后手可以移回奇数位。设 $d p_{u, j, 0/1}$ 表示 $d e p_{u} mod k = j, ⌊ \frac{d e p _{u}}{k} ⌋ mod 2 = 0/1$ 时的 SG 值。换根 dp。

CF1852C

初始全为 $0$ ，模 $k$ 意义下最少多少次区间加 $1$ 得到 $a$ 数组。

如果不模 $k$ ，差分得 $b$ ， $an s = \sum [b_{i} > 0] b_{i}$ 。预先对 $a$ 区间加 $k$ 代替取模， $b_{u} + k, b_{v + 1} - k$ ，最小化 $an s$ 。反悔贪心，取出最小的 $b_{j} < 0$ 和当前 $b_{i} > 0$ 做区间加后 $b_{j} > 0, b_{i} < 0$ ，把 $b_{i}$ 入队。

CF1539F

中位数相关，考虑 $a_{j} > a_{i}$ 的 $j$ 设为 $1$ ， $a_{j} < a_{i}$ 的 $j$ 设为 $- 1$ ，做前缀和。 $a_{j} = a_{i}$ 时可以任意排列。

$a_{i} > a_{mi d}$ ， $a_{j} = a_{i}$ 的 $j$ 放在 $i$ 前，设为 $- 1$ 。 $an s = max \sum [a_{j} \leq a_{i}] - ⌈ \frac{l + r}{2} ⌉ = \frac{- m i n ( s u m _{r} - s u m _{l - 1} ) - 1}{2}$ 。
否则， $a_{j} = a_{i}$ 的 $j$ 放在 $i$ 后，设为 $1$ 。 $an s = max \sum [a_{j} \geq a_{i}] - ⌈ \frac{l + r}{2} ⌉ = \frac{m a x ( s u m _{r} - s u m _{l - 1} )}{2}$ 。

要动态维护 $max (s u m_{r} - s u m_{l - 1})$ 。可以按 $a_{i}$ 从小往大加入。初始时 $s u m_{i} = i$ ，当 $a_{i}$ 改为 $- 1$ 时，线段树维护区间 $[i, n]$ 减 $2$ 。 $max (s u m_{r} - s u m_{l - 1}) = max_{j = i}^{n} s u m_{j} - min_{j = 1}^{i} s u m_{j - 1}$ 。

CF1797F

求恰好满足一个条件中的 $(u, v)$ 个数： $u$ 是 $u - > v$ 编号最小的点； $v$ 是 $u - > v$ 编号最大的点。

容斥， $an s =∣ A ∣ + ∣ B ∣ - 2 ∣ C ∣$ 。建大根、小根重构树， $∣ A ∣= \sum s i z m x_{u}$ 。 $C$ 为在两棵树都有祖先关系的点对。枚举一边，树状数组维护从根到当前节点在另一颗树上的 dfn 序，区间查询，单点修改。

P4248

$t_{i} = s [i, n]$ 。求 $\sum_{i < j} l e n_{t_{i}} + l e n_{t_{j}} - 2 \times l c p (t_{i}, t_{j})$ 。

$an s = \frac{n \times ( n - 1 ) \times ( n + 1 )}{2} - 2 \times \sum_{i < j} l c p (t_{i}, t_{j})$ 。lcp 看作公共前缀数量。记 $s i z_{u}$ 表示节点 endpos 集合大小，对每个节点计算贡献，有 $n u m_{u} = l e n_{u} - l e n_{f a_{u}}$ 个串，每个串出现在 $s i z_{u}$ 个后缀的前缀中，贡献 $n u m_{u} \times \frac{s i z _{u} \times ( s i z _{u} - 1 )}{2}$ 。

P2178

翻转建 SAM，lcp 转换为最长公共后缀，即 parent tree 上的 lca 的 len。记录子树内最大、次大、最小、次小。

P9970

极小的 mex 区间有 $O (n)$ 个。枚举 $i$ 维护所有极小 $[l, r], m e x_{l, r} = i$ ，不断向左右一边拓展至最近的 $a_{i}$ ，得到 $m e x_{l^{'}, r^{'}} = c a l c (l^{'}, r^{'}) > i$ 的一个区间，所有这些区间包含所有极小区间，每次转移前删去非极小区间。计算区间 mex：可持久化线段树， $[1, n]$ 为版本，维护每个值最后出现的位置，二分。已知有极小区间 $[l, r], m e x_{l, r} = x$ ，找到左右的 $L, R, a_{L - 1} = a_{R + 1} = x$ ，则 $m e x_{l^{'}, r^{'}} = x, L \leq l^{'} \leq l, r \leq r^{'} \leq R$ 。所有 $r - l + 1, R - L + 1$ 中的 $l e n$ 存在 $m e x = x$ ，记录加入和删除位置，用 set 扫一遍。

1.16

arc162f

观察发现，第 $i$ 行 $a_{i, j_{1}} = \dots = a_{i, j_{n u m}} = 1, (j_{1} < \dots < j_{n u m})$ ，则第 $ii, (ii > i)$ 行能取 $1$ 的位置是 $[1, j_{1} - 1]$ 和 $j$ 的一个前缀。

但可以空一些行和列，考虑将所有有 $1$ 的行和列压起来。设 $d p_{i, j, k}$ 表示前 $i$ 行，有 $j$ 个列有过 $1$ ，上一行有 $k$ 个 $1$ ，强制连续选。首先可以取一个前缀， $d p_{i, j, k}^{'} = \sum_{l = k}^{j} d p_{i - 1, j, l}$ ，后缀和维护。其次可以向前任意取，但强制连续选，枚举选 $l$ 个， $d p_{i, j, k} = \sum_{l = 0}^{k} d p_{i, j - l, k - l}^{'}$ ，维护一个斜线的前缀和。 $an s = \sum (i n) \times (j m) \times d p_{i, j, k}$ 。再加上全取 $0$ 的情况。

注意取模优化和枚举时 $\frac{1}{2}$ 的常数！

1.18

CF814E

分层，只有层间和向下层的边。设当前层 $m$ 个点， $x$ 个二度， $y$ 个三度，层间连 $z$ 条。

向下层： $(x + 2 y - z)!$
层间： $\frac{( x + 2 y )!}{( x + 2 y - 2 z )! \times 2 ^{z} \times z !}$ ，将二度点当两个点，再出去对的相对顺序。
容斥掉 $p$ 个重边、 $q$ 个自环，设 $s = 2 p + q$ ： $\frac{( - 1 ) ^{p + q} \times y !}{( y - s )! \times p ! \times q !} \times \frac{( x + 2 y - 2 s )!}{( x + 2 y - 2 z )! \times 2 ^{x - s} \times ( z - s )!}$

CF1142E

维护一个可行答案集合，取出两个询问，将不可行的扔掉。要保证每次询问不能问到粉边，要求每个粉连通块只有一个点在集合中。强行当成 DAG，如果不行再将联通块其他点加入。

CF1240F

构造。将边拆为 $u$ 和 $v + n$ ，二分图，如果能使每个点极差不超过 $1$ ，合并后不超过 $2$ 。设点 $u$ 度数为 $ak + b$ ，拆为 $a + 1$ 个点。边染色使所有出边颜色不同。同 CF600F。

1.19

arc134e

$\emptyset$ 必胜。 ${1}, {2}$ 必败。
否则 $\exists x mod 2 = 1$ 模 $2$ 必胜。
否则 $\exists x mod 4 = 2$ 模 $4$ 必胜。
否则模 $3$ 后如果 $S = {1}$ 或 ${2}$ 必胜。
否则 $S = {4, 8}$ 必败，否则模 $12$ 得 ${4, 8}$ 必胜。

如果 $\forall12 ∣ x$ ，难以分类讨论。有 $⌊ \frac{200}{12} ⌋ = 16$ ，状压计算出现次数和胜负。

CF487E

圆方树。求出点双，对每个点双建方点，原图点是圆点，方点与对应的圆点连边。

当进入一个点双，一定能到点双中权值最小的点。方点权值为最小的圆点权值，multiset 维护删除，树剖维护路径最小值。

1.20

agc010e

对于不互质的数，后手操作后先后顺序不变。对所有不互质的连边。要求定向后最大拓扑序最小。按权值从小到大 dfs 儿子连边，拓扑时用优先队列。

1.21

P5292

从长为 $1$ 和 $2$ 的回文串开始枚举左右出边 bfs，复杂度 $O (m^{2})$ 。减少无用的边。将 $00, 11$ 和 $01, 10$ 分开，形成若干连通块。如果连通块为二分图，两点间奇偶性相同，可以反复横跳，取生成树即可。不是二分图，连自环即可。边数将为 $O (n)$ 。

1.22

CF1609F

枚举每个颜色 $c$ ，枚举右端，线段树区间维护左端 min 和 max 是否符合条件。

CF1280D

树形 dp。设 $d p_{u, i}$ 表示 $u$ 子树内分 $j$ 段的最大数量。难以记录 $u$ 所在连通块状态。设 $f_{u, i}$ 表示最大数量下 $w_{i} - b_{i}$ 的值。背包 $O (n^{2})$ 。

1.23

CF1218A

是基环树。先考虑树。如果从一个点开始，定为根， $an s = \sum s i z_{u}$ 。换根 dp 即可。

把环找出来，考虑在环上点 $u$ 的子树中开始染色的答案。染色的方式是大致是从子树的叶子开始向上。对 $u$ 的每个非环上儿子做树的 dp。记 $g_{u}$ 表示从环上进入子树向下染色的答案， $d p_{u}$ 表示换根的、从子树内任意节点开始染色的方案。从环上 $u$ 的非环上儿子 $v$ 的子树开始的答案是 $d p_{v} + \sum_{v^{'} \neq = v} g_{v^{'}}$ ， $an s_{u} = \sum g_{v} + max (d p_{v} - g_{v})$ 。染完环上 $u$ 的子树后，绕环染环上点。再从除 $u$ 外的环上点向下染其他环上点的子树，答案为 $\sum g_{v}$ 。

发现前后贡献固定，变动的是染环的顺序。染环是染一个区间，每次向左右拓展。每次染一个点，答案加上当前连通块大小，当前连通块大小减 $s i z_{u}$ 。贪心向小的染是错的，因为有后效性。记录 $s i z$ 的前缀和，区间 dp， $O (1)$ 向左右转移，滚动即可。

1.24

CF288E

$an s = \sum (X \times 1 0^{i} + 47 \dots 7) (X \times 1 0^{i} + 74 \dots 4)$

维护 $X$ 的数量、和、平方和。

省选模拟1.24 T2 lottop

对于平面图， $V - E + F = 2$ ，顶点数、边数、平面数。每个面至少围 $3$ 条边，每条边对应两个面， $2 E \geq 3 F$ ， $E \leq 3 V - 6$ 。平面图存在点度数小于等于 $5$ ，对偶图也是平面图存在点度数小于等于 $5$ ，平面图存在环小于等于 $5$ 。判三、四元环。

根号分治，按度数、大小定向为 DAG。复杂度 $O (m m)$ 。

P7372

连成若干个环， $k = l c m a_{i}$ 。要 $\sum a_{i} \leq n \times m$ ，取 $a_{i} = p_{i}^{c_{i}}$ 。构造交换相邻的方案。

1.28

P7482

cdq 分治拆成 $[l, mi d]$ 到 $(mi d, r]$ 的贡献。

对于一个区间计算答案可以用 dp 完成。以 $mi d$ 为交界合并左右的 dp 值。设 $f_{i, 0/1}$ 表示区间 $[i, mi d]$ 或区间 $(mi d, i]$ ，是否选 $mi d$ 或 $mi d + 1$ 的答案。记跨过 $mi d$ 的贡献为 $w$ 。

$w = \sum_{i = l}^{mi d} \sum_{j = mi d + 1}^{r} an s (i, j)$

记 $g_{i} = f_{i, 1} - f_{i, 0}$ 。

$w = \sum_{i = l}^{mi d} \sum_{j = mi d + 1}^{r} max (g_{i} + f_{i, 0} + f_{j, 0}, g_{j} + f_{i, 0} + f_{j, 0})$

$w = \sum_{i = l}^{mi d} \sum_{j = mi d + 1}^{r} max (g_{i}, g_{j}) + \sum_{i = l}^{mi d} f_{i, 0} \times (r - mi d) + \sum_{j = mi d + 1}^{r} f_{j, 0} \times (mi d - l + 1)$

后面两个直接做，前面的对于每个 $i$ 拆开 max 计算。

$\sum_{j = mi d + 1}^{r} max (g_{i}, g_{j}) = \sum_{j = mi d + 1}^{r} [g_{i} \geq g_{j}] \times g_{i} + [g_{i} < g_{j}] \times g_{j}$

对 $(mi d, r]$ 的 $g_{j}$ 排序，二分 $g_{i}$ 的位置，记录 $g_{j}$ 的后缀和即可。递归 $[l, mi d]$ 和 $(mi d, r]$ 解决。

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